Nonzero coefficients in restrictions and tensor products of supercharacters of Un(q)

The standard supercharacter theory of the finite unipotent upper-triangular matrices Un(q) gives rise to a beautiful combinatorics based on set partitions. As with the representation theory of the symmetric group, embeddings of Um(q) ⊆ Un(q) for m ≤ n lead to branching rules. Diaconis and Isaacs established that the restriction of a supercharacter of Un(q) is a nonnegative integer linear combination of supercharacters of Um(q) (in fact, it is polynomial in q). In a first step towards understanding the combinatorics of coefficients in the branching rules of the supercharacters of Un(q), this paper characterizes when a given coefficient is nonzero in the restriction of a supercharacter and the tensor product of two supercharacters. These conditions are given uniformly in terms of complete matchings in bipartite graphs. Résumé. La théorie standard des supercaractères des matrices triangulaires supérieures unipotentes finies Un(q) donne lieu à une merveilleuse combinatoire basée sur les partitions d’ensembles. Comme avec la théorie des représentations du groupe symétrique, Les plongements Um(q) ⊆ Un(q) pour m ≤ n mènent aux règles de branchement. Diaconis et Isaacs ont montré que la restriction d’un supercaractère de Un(q) est une combinaison linéaire des supercaractères de Um(q) avec des coefficients entiers non négatifs (en fait, elle est polynomiale en q). Dans une première étape vers la compréhension de la combinatoire des coefficients dans les règles de branchement des supercaractères de Un(q), ce texte caractérise les coefficients non nuls dans la restriction d’un supercaractère et dans le produit des tenseurs de deux supercaractères. Ces conditions sont données uniformément en termes des couplages complets dans des graphes bipartis.